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初中數學奧林匹克競賽技巧大全

初中數學奧林匹克競賽技巧大全doc格式【word版】

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  • 更新:2015-11-02 11:33
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  • 類型:書集教程
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……

但這是不可能的,因為k2x2與n2都是完全平方,而由k2<k2+2k<(k+1)2得出k2+2k不是平方數.

A1-003 試證四個連續自然數的乘積加上1的算術平方根仍為自然數.

【題說】 1962年上海市賽高三決賽題 1.

【證】 四個連續自然數的乘積可以表示成

n(n+1)(n+2)(n+3)=(n2+3n)(n2+8n+2)=(n2+3n+1)2-1

因此,四個連續自然數乘積加上1,是一完全平方數,故知本題結論成立.

A1-004 已知各項均為正整數的算術級數,其中一項是完全平方數,證明:此級數一定含有無窮多個完全平方數.

【題說】 1963年全俄數學奧林匹克十年級題2.算術級數有無窮多項.

【證】 設此算術級數公差是 d,且其中一項 a=m2(m∈N).于是

……

【題說】1993年亞太地區數學奧林匹克題4.

【解】顯然,n只能為奇數.

當n=1時,x=-4.

當n為不小于3的奇數時,方程左邊是首項系數為1的非負整系數多項式,常數項是2n+1,所以它的整數解只能具有-2t的形式,其中t為非負整數.若t=0,則x=-1,它不是方程的解;若t=1,則x=-2,也不是方程的解;當t≥2時,方程左邊=2n[-2n(t-1)+(1-2t-1)n+(1+2t-1)n],而-2n(t-1)+(1-2t-1)n+(1+2t-1)n≡2(mod 4),從而方程左邊不等于零.

綜上所述,當且僅當n=1時,原方程有一個整數解x=-4.

A5-033 每一個大于2的自然數n都可以表示為若干個兩兩不等的正整數之和.記這些相加數個數的最大值為A(n),求A(n).

【題說】1993年德國數學奧林匹克(第一輪)題1.

【解】對任意自然數n(n≥3),存在自然數m

……

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